ヤコビアンを用いた重積分における $dxdy=|J|dsdt$ の直感的な理解

$\Delta x \Delta y =|J| \Delta s \Delta t$ を証明する。以下の議論では座標系はxy直交座標系で考える。 $\Delta x= \frac{\partial x}{\partial s} \Delta s + \frac{\partial x}{\partial t} \Delta t$
$\Delta y= \frac{\partial y}{\partial s} \Delta s + \frac{\partial y}{\partial t} \Delta t$
という近似が成立する。
この2式から
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が導かれる。また、

であることに気を付けて、この式の意味を図示すると、以下の2画像のように異なる経路を通って $(0,0)$ から $(\Delta x , \Delta y)$ という共通の終着点へ結ばれるベクトル和となる。
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ここで、 $\Delta x \Delta y =|J| \Delta s \Delta t$ を図示すると下の2図の緑の領域と赤の領域が等しいという主張であるとわかる。

重ねて図示して比べると、確かに近似できそうである。