逆行列を持つのにフルランクであることが必要十分な理由 行列がフルランクならばとなるが存在するから. 参考 math-note.xyz

証明の概略 正定値行列=>エルミート行列(対称行列)=>直交行列による対角化が可能=>正則行列 証明 を正定値行列とする.と直交行列による対角化が可能である. よって,が定義できる.示すべきことが言えた. 参考

エルミート行列についての値は実数になる 証明 ここでとおく.() 両辺の共役転置をとると, 上の3式からでありが実数であることがわかる. よっての値が実数であることが示された.

複素数まで拡張しても使用できる定義 この定義なら,はエルミート行列であることが保証される.の要素がすべて実数のときは,当然は実対称行列であることが保証されることになる. 証明 と定義する.ここで,はに注目するとエルミートだとわかることに注意する. こ…

主平方根が存在することの証明 半正定値行列に関して,を満たすが存在することを証明する. は半正定値であるから,対称行列でもある.よって,ある直交行列によって,と表せる.() ここで,とおき,とする.ここで,Bは半正定値行列となることに注意する. を計算する. …

実対称行列が直交行列によって対角化できる理由 ①実対称行列は固有ベクトルが直交する. ②固有ベクトルを並べてできた直交行列によって対角化が可能 実対称行列の固有ベクトルは直交する 証明 参考 risalc.info https://www.cck.dendai.ac.jp/math/support/ch…

直交行列の定義 直交行列とその転置行列の積をとると,単位行列になる. 直交行列の性質 証明 であることが示せた. 証明 よって示すべきことが言えた. 証明 略 証明 示すべきことがいえた. 証明 示すべきことが言えた. 参考 mathtrain.jp

行列のランクの性質のうち,よく使うものを列挙する. ・ ・ 行列C=ABはAのベクトルの線形和によって表現されているから,CのランクがAのランクを下回ることはない. ・ 番外編 当たり前だが,対称行列が常にフルランクであるということはない.