直交行列の定義

$UU^\mathsf{T}=I$
直交行列とその転置行列の積をとると,単位行列になる.

直交行列の性質

証明
$1=\mathrm{det}I=\mathrm{det}U\mathrm{det}U^{-1}=\mathrm{det}U\mathrm{det}U^{\mathsf{T}}$ $=(\mathrm{det}U)^{2}$
$\mathrm{det}U=\pm 1$ であることが示せた.

証明
$Uの第i行を\boldsymbol u_iとする.UU^{\mathsf{T}}の要素(i,j)は\boldsymbol u_i \boldsymbol u_jによって決まるが,$
$直交行列の定義よりi=jのとき1,i \neq jのとき0$
よって示すべきことが言えた.

証明
略

証明
$U\boldsymbol x \cdot U\boldsymbol y=\boldsymbol x^{\mathsf{T}} U^{\mathsf{T}}U \boldsymbol y=\boldsymbol x^{\mathsf{T}}\boldsymbol y$
示すべきことがいえた.

証明
$上で\boldsymbol x =\boldsymbol y とするとU \boldsymbol x \cdot U \boldsymbol x=\boldsymbol x \cdot \boldsymbol x となる.$
示すべきことが言えた.