実対称行列が直交行列によって対角化できる理由

①実対称行列は固有ベクトルが直交する.

②固有ベクトルを並べてできた直交行列によって対角化が可能

実対称行列の固有ベクトルは直交する

証明
$A \boldsymbol a_i = \lambda_i \boldsymbol a_i$
$A \boldsymbol a_j = \lambda_j \boldsymbol a_j$
$\boldsymbol a_i \cdot A \boldsymbol a_j=$ $\boldsymbol a_i^{T}A^{T}\boldsymbol a_j$
$=(A\boldsymbol a_i)^{T} \boldsymbol a_j=\lambda_i \boldsymbol a_i^{T} \boldsymbol a_j$
$=\lambda_i \boldsymbol a_i \cdot \boldsymbol a_j$
$\boldsymbol a_i \cdot A \boldsymbol a_j=\boldsymbol a_i \cdot \lambda_j \boldsymbol a_j=\lambda_j \boldsymbol a_i \cdot \boldsymbol a_j$
$\lambda_j \boldsymbol a_i \cdot \boldsymbol a_i=\lambda_j \boldsymbol a_i \cdot \boldsymbol a_j$
$(\lambda_i-\lambda_j)(\boldsymbol a_i \cdot \boldsymbol a_i)=\boldsymbol 0$
$\lambda_i\neq\lambda_j\Rightarrow \boldsymbol a_i \perp \boldsymbol a_i$