主平方根が存在することの証明

半正定値行列 $A$ に関して, $A=B^{2}$ を満たす $B$ が存在することを証明する.
$A$ は半正定値であるから,対称行列でもある.よって,ある直交行列 $U$ によって, $A=U\Lambda U^{T}$ と表せる.( $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,...\lambda_n)$ )
ここで, $\Lambda_2=\mathrm{diag}(\sqrt\lambda_1,...\sqrt\lambda_n)$ とおき, $U\Lambda_2 U^{T}=B$ とする.ここで,Bは半正定値行列となることに注意する. $B^{2}$ を計算する.
$B^{2}=U\Lambda_2 U^{T}U\Lambda_2 U^{T}=U\Lambda_2^{2} U^{T}=U\Lambda U^{T}=A$
これで[tex:B²=A]を満たす半正定値行列 $B$ が存在することが言えた.

主平方根が一意的に定まることの証明

背理法で示す. $B\neq C$ かつ $C^{2}=A$ を満たす,半正定値行列 $C$ が存在すると仮定する.すると, $(B-C)\boldsymbol u=\lambda \boldsymbol u$ となる非零固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\boldsymbol u$ が存在する.(すべての固有値が0だとすると $B\neq C$ に矛盾する.)また, $(\boldsymbol x^{T} BC\boldsymbol x)^{T} =(C\boldsymbol x)^{T}(\boldsymbol x^{T} B)^{T}=\boldsymbol x^{T}C^{T}B^{T}\boldsymbol x=\boldsymbol x^{T} CB\boldsymbol x$ とスカラーの転置は一致することから $\boldsymbol x^{T} BC\boldsymbol x=\boldsymbol x^{T} CB\boldsymbol x$ である.これらから $\boldsymbol u^{T}(B^{2}-C^{2})\boldsymbol u=\boldsymbol u^{T}(B+C)(B-C)\boldsymbol u=\boldsymbol u^{T}(B+C)\lambda\boldsymbol u$ であり, $B,C$ の半正定値性から $\boldsymbol u^{T} B\boldsymbol u=\boldsymbol u^{T} C\boldsymbol u$ であり, $\boldsymbol u^{T} (B-C)\boldsymbol u=\boldsymbol u^{T} \boldsymbol u\neq 0$ で仮定に矛盾し $B=C$ であることがいえた.