複素数まで拡張しても使用できる定義

$\boldsymbol z^{＊}M \boldsymbol z \geq 0$

この定義なら, $M$ はエルミート行列であることが保証される. $M$ の要素がすべて実数のときは,当然 $M$ は実対称行列であることが保証されることになる.
証明

$M=A+iB \\ A=\frac{(M+M^{＊})}{2}\\ B=\frac{(M-M^{＊})}{2i}$

と定義する.ここで, $A,B$ は $M,M^{＊}$ に注目するとエルミートだとわかることに注意する.
$\boldsymbol z^{＊}M \boldsymbol z = \boldsymbol z^{＊} A \boldsymbol z + i \boldsymbol z^{＊} B \boldsymbol z$
ここで行列 $X$ がエルミートのとき任意の複素ベクトル $\boldsymbol z$ にたいして, $\boldsymbol z^{＊}X\boldsymbol z$ の値は実数になるから, $\boldsymbol z^{＊} B \boldsymbol z=0$ であることがわかる.
さらに, $M=A$ であることも導かれる.よって $M$ はエルミートである.