実対称行列の固有値は実数であることの証明

実対称行列の固有値は実数である

証明
準備
A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x
両辺の共役転置をとって,
\boldsymbol x^{＊}A=\overline{\lambda} \boldsymbol x^{＊}
ここで\quad\boldsymbol x^{＊}A\boldsymbol xについて二つの表現を導き,比較する.
\boldsymbol x^{＊}A\boldsymbol x=\boldsymbol x^{＊}\lambda\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x^{＊}\boldsymbol x
\boldsymbol x^{＊}A\boldsymbol x=\overline{\lambda} \boldsymbol x^{＊}\boldsymbol x
\overline{\lambda}=\lambda
固有値が実数であることがいえた.

参考

mathtrain.jp