エルミート行列 $M$ について $\boldsymbol z^{＊}M\boldsymbol z$ の値は実数になる

証明
$\boldsymbol z^{＊}M\boldsymbol z =\boldsymbol z^{＊}M^{＊}\boldsymbol z =(M\boldsymbol z)^{＊}\boldsymbol z$
$\boldsymbol z^{＊}(M\boldsymbol z) =(M\boldsymbol z)^{＊}\boldsymbol z$
ここで $\boldsymbol z^{＊}(M\boldsymbol z)=c$ とおく.( $c\in \mathbb{C}$ )
両辺の共役転置をとると, $(M\boldsymbol z)^{＊}\boldsymbol z =\overline{c}$
上の3式から $c=\overline{c}$ であり $c$ が実数であることがわかる.
よって $\boldsymbol z^{＊}M\boldsymbol z$ の値が実数であることが示された.